Paper-Analysis-Tensor Decomposition for Hyperspectral data process in remote sense

Hyperspectral remote sensing imaging 关注了大量时空信息。

Mathematical notations

• T-product. The T-product of two three-order tensors $\mathcal{A} \in \mathbb{R}^{n_1 \times n_2 \times n_3}$ and $\mathcal{B} \in \mathbb{R}^{n_2 \times n_4 \times n_3}$ is denoted by $\mathcal{C} \in \mathbb{R}^{n_1 \times n_4 \times n_3}$

• Tensor n-mode product.

• Four special tensors

• First mode-k unfolding/matricization
• Second mode-k unfolding/matricization
• mode-k permutation
• multilinear product
• circular dimensional permuation

hyperspectral restoration

an observed degraded HS image can be formulated as follows:

$$\mathcal{T}=M(\mathcal{X}) + \mathcal{S} + \mathcal{N} \tag{1}\label{eq1}$$

$\mathcal{T, X, S,N}$分别表示观测图像、重构图像、稀疏误差以及加性误差。这个加性误差建模为独立的信号，通常为高斯误差。$M(\cdot)$为不同的重构问题的表示不同的线性退化操作。

1. 当$M(\mathcal{X})=\mathcal{X}$, $\eqref{eq1}$ 是HS destriping problem ($\mathcal{T=X+S}$)或者是HS denoising problem (只有高斯噪声 $\mathcal{T=X+N}$或者混合噪声$\mathcal{T=X+S+N}$)
2. 当$M(\cdot)$表示二元操作，1为原始像素，0为缺失数据，$\eqref{eq1}$变为HS inpainting problem.
3. 当$M(\cdot)$是一个blur kernel，也被称为point spread function(PSF)，$\eqref{eq1}$称为HS deblurring problem.

HS restoration通过$\mathcal{T}$来评估$\mathcal{X}$。这个ill-posed问题表明，需要对$\mathcal{X}$实施额外的约束才能得到最优解。这些额外的约束解释了HS的期望属性和各种类型的HS先验信息，例如非局部相似性、空间和光谱平滑度以及子空间表示。HS restoration problem可以总结为

$$\min_{\mathcal{X}} \frac{1}{2}\| \mathcal{T}-M(\mathcal{X})-\mathcal{S}\|_F^2+\tau f(\mathcal{X}) + \lambda g(\mathcal{S})$$

$\tau$ and $\lambda$是正则参数，且$f(\mathcal{X})$和$g(\mathcal{S})$分别代表正则化，用于探索recovered $\mathcal{X}$和稀疏项$\mathcal{S}$. 空间和光谱的信息可以使用不同的先验约束来体现，例如 the LR property, sparse representation, nonlocal similarity and total variation(TV).

low-rank tensor decomposition

LRTD可以分为factorization-based approaches和rank minimizatio-based approaches.前者需要预定义rank的值，后者可以直接最小化rank。

factorization-based approaches

常见的就是tucker分解和CP分解。

rank minimization approaches

$$\begin{align} &\min_{\mathcal{X}} rank(\mathcal{X})\\ &s.t. \mathcal{T =X+S+N} \end{align}$$

$rank(\mathcal{X})$表示HS tensor $\mathcal{X}$，包括不同的rank 定义，例如 tucker rank, CP rank, TT rank and tubal rank. 由于上述秩最小问题属于非凸问题，因此是NP-hard问题。核范数通常用作非凸秩函数的凸替代。

$$\begin{align} &\min_{\mathcal{X, S,N}} \|\mathcal{X}\|_* + \lambda_1\|\mathcal{S}\|_1+\lambda_2\|\mathcal{N}\|_F^2\\ &s.t. \mathcal{T =X+S+N} \end{align}$$

$\lambda_1$控制稀疏噪声的强度，$\lambda_2$控制加性高斯噪声的强度。
ADMM已经成为解决约束优化问题的流行方法，在ADMM中引入了辅助变量，推导出一个等效问题，该问题具有可分离的无约束函数，该函数受原始变量和辅助变量之间的线性兼容性约束。ADMM几乎不依赖于优化问题的平滑性，并且可以快速收敛到一个具有中等精度的最优解。

other priors-regularized low-rank tensor decomposition

nonlocal similarity

HS图像通常具有许多重复的局部空间模式，因此a local patch在HS图像中总是具有许多相似的patch。

spatial and spectral smoothness

HS image在空间和光谱上往往具有相对平滑的特性。一般使用TV method来处理这个平滑性。为了增强HS图像的空间分段平滑性和光谱一致性，分别制定了3DTV范数和空间光谱TV范数

subspace representation